Построение и исследование кватернионных преобразований Фурье и их применение в создании информационных систем для задач геофизики и геохимии

Идея исследования заключается в том, что оно сочетает алгебру кватернионов с инструментами преобразования и обработки информации. На данный момент эти исследования интересны как математикам, так и инженерам. В рамках проекта будут изучены распределения Вигнера-Вилля (WVD) с QOLCT (WVD-QOLCT). WVD-QOLCT — один из видов гибридных преобразований, в котором эффективно используются преимущества QOLCT и свойства WVD.

Более того, исследования имеют огромные перспективы в геологии для применения в обработке сигналов магнитотеллурического зондирования, в задаче продолжения потенциала в сторону возмущающих масс, особенно в части обработки изображений. В настоящее время, с развитием информационно-коммуникационных технологий, мы окружены многими оцифрованными цветными изображениями геологических объектов.  Исследования в этой области поможет внести существенный вклад для теоретических и прикладных исследований.

Общая цель этого проекта – построение и изучение гибридных преобразований, их применение в численных методах решения задач математической геофизики составляющих основу геоинформационных систем. Будет определен 2D WVD-OLCT и рассмотрен в алгебре кватернионов. Будет показана ранее неопределенная связь 2D AF с QLCT/QOLCT. Установление связи AF-QOLCT с другими преобразованиями, доказательства свойства и теоремы.

Задачи проекта:

1. Построение и изучение свойств и теоретических применений 2D WVD-OLCT.
2. Вывод распределения WVD-QOLCT, исследование его свойств, таких как симметрия сопряжения, трансляция, свойство нелинейности с подробным доказательством. Вывод основных свойств для использования в приложениях. Например, свойство нелинейности используется при обнаружении сигналов LFM. Сигналы LFM используются в системах связи, радиолокации и гидролокатора. Следовательно, обнаружение сигналов LFM является одной из наиболее важных тем в инженерии. Иллюстрация приложений WVD-QOLCT для обнаружения одно- и двухкомпонентного LFM-сигнала.
3. Получение принципов неопределенности (UP), таких как логарифмическое UP, UP Харди, UP Беурлинга и UP энтропии для WVD-QOLCT.
4. Доказательство теорем о свертке и корреляции для WVD, связанных с QOLCT. Данные операции являются фундаментальными в теории систем LTI и важны для обработки сигналов, а также в оптике, в распознавании образов, особенно в приложениях в для разработки модуля ГИС на реальных разномасштабных геологических объектах. Теоремы о свертке и корреляции имеют теоретическую значимость и практическое применение.
5. Разработка мультипликативных фильтров. Будет предложен практический метод достижения мультипликативной фильтрации с помощью свертки.
6. Использование WVD-QOLCT для нанесения водяных знаков на цветные изображения и моделирования цветных изображений. Будут представлены некоторые иллюстрации и моделирование для проверки применимости и эффективности предлагаемых методов. Кроме того, будут найдены дополнительные приложения WVD-QOLCT для проверки полученной теории, включая шумоподавление изображений и шифрование изображений.
7. Разработка математической модели, метода и алгоритмов решения обратной задачи о продолжении потенциальных полей в сторону возмущающих масс. Для выявления аномалий полезных ископаемых скрытых месторождений по данной модели будет решена с применением быстрого дискретного преобразования Фурье;
8. Разработка численного метода решение обратной задачи о продолжении потенциальных полей в сторону возмущающих масс с использованием кватернионных вейвлет преобразовании (QWT) и проведение сравнительного анализа.
9. Разработка математической модели, метода и алгоритмов решения прямой и обратной задачи магнитотеллурического зондирования (МТЗ). Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля с помощью прямого преобразования Фурье приводятся к уравнениям Гельмгольца.
10. Разработка численного метода решения прямой задачи МТЗ с применением кватернионного преобразования Фурье и проведения сравнительного анализа.
11. Применение разработанных гибридных преобразовании для улучшения качества оцифрованных цветных изображении и моделирования цветных изображений месторождении полезных ископаемых;
12. Создание компьютерных программ для численной реализации разработанных алгоритмов решения задач ( в том числе с использованием суперкомпьютерных вычислительных технологий);
13. Формирование модуля ГИС на основе цифровых методов прогнозирования и кватернионных преобразовании Фурье для моделирования цветных изображении карт геологических объектов;
14. Апробация модуля ГИС для решения прямых и обратных задач геофизики и геохимии на реальных разномасштабных геологических объектах
15. Составление рекомендаций по практическому применению полученных результатов исследований.

Разработанные новые методы решения интегральных уравнений с использованием кватернионных вейвлет преобразований и методы решения системы уравнений Максвелла для задач МТЗ с использованием интегральных преобразований Фурье внесут существенный вклад в развитие численных методов решения задач геохимии и геофизики.

Создания комплекса прикладных программ для ГИС, основанный на методах кватернионного преобразования Фурье, кватернионного вейвлет преобразования для изучения скрытых рудных объектов даст экономический и научно-технический эффект, т.к. интегрирует и упорядочивает информацию о полезных ископаемых. Информация будет представлена в оцифрованном цветном изображений, обработанный кватернионным преобразованием Фурье.

Разработанные численные методы на основе нового математического аппарата теории кватернионного преобразования Фурье откроют новые возможности в вопросах поиска и разведки рудных объектов для геолого-разведывательных предприятии.

Получены обработанные цветные изображения карт геологических объектов. Также получены цветные изображения геологических объектов с водяными знаками.

В рамках данного исследования представлены результаты использования распределения Винера-Вилля с кватернионным оффсетно-линейным преобразованием (WVD-QOLST) в различных аспектах обработки цветных изображений. Данная методика была использована для моделирования цветных изображений геологических объектов, а также для выполнения нанесения водяных знаков, шумоподавления и шифрования изображений.

Разработана база данных, цветные изображения карт геологических объектов.

Разработаны удобные для численного решения уравнения для определения полей магнитного и электрического напряженностей, скалярного и векторного потенциалов. Определение проницаемости слоев земной коры.

Изучена взаимосвязь между магнитными колебаниями и земными токами на основе системы уравнений Максвелла. В рамках исследования Земля рассматривалась как состоящая из горизонтальных слоев с различным электрическим сопротивлением, при этом сопротивление внутри каждого слоя считалось постоянным, а сопротивление верхнего полупространства (воздуха) — бесконечным.

Рассмотрено решение стационарных и нестационарных задач МТЗ с использованием кватернионного преобразования Фурье (QFT). Использование QFT позволяет исключить одну из пространственных и временных переменных, что приводит к более удобной форме решения. Применение кватернионных преобразований Фурье во времени переводит исходную задачу в частотную область, что позволяет более глубоко исследовать ее природу. В частотной области становится более понятным определение основных компонентов сигнала и их взаимодействий, что позволяет глубже проанализировать физические аспекты задачи.

Разработан эффективный метод решения задачи МТЗ.

Численное решение прямой задачи магнитотеллурического зондирования показало, что на относительно высоких частотах функция существенно зависит от свойств верхних слоев разреза, а на низких частотах — от более глубоких горизонтов. Выводы из результатов численного решения обратной задачи, связанной с многослойной структурой, подтвердили, что метод дифференциальной эволюции является очень эффективным инструментом для глобальной минимизации целевой функции.

Метод Ландвебера, основанный на минимизации квадратичной функции с использованием смежных методов оптимизации, был применен для решения обратных задач в однослойных областях МТЗ. В случае однослойной среды используемые граничные условия предоставляют все возможные варианты моделирования процесса. Это позволяет моделировать месторождение в однослойных областях с реалистичной интерпретацией поверхностных и глубинных границ и их применимостью к реальным геофизическим сценариям.

1. Dossan Baigereyev, Syrym Kasenov, Laura Temirbekova Empowering geological data analysis with specialized software GIS modules // Indonesian Journal of Electrical Engineering and Computer Science (IJEECS), 2024, Vol 34, No 3, pp. 1953-1964, DOI: http://doi.org/10.11591/ijeecs.v34.i3.pp1953-1964 (Scopus CiteScore – 2.9, Percentile – 55)
2. Urynbassarova, D.; Teali, A.A. Convolution, Correlation, and Uncertainty Principles for the Quaternion Offset Linear Canonical Transform. Mathematics 2023, 11, 2201. https://doi.org/10.3390/math11092201  (WoS SCIE Mathematics — Q1; CiteScore2022-3.5; SJR2022-0.446;) https://www.mdpi.com/2227-7390/11/9/2201
3. Д.О. Тамабай, Н.М. Темирбеков, С.И. Кабанихин, Н.Д. Арыстанбек Приближенное решение нелинейного уравнения Фредгольма второго рода методом Бубнова-Галеркина с базисами в виде вейвлетов Лежандра // Вестник НИА РК, № 4 (86) — 2022 doi: 10.47533/2020.1606-146X.210. https://journal.neark.kz/priblizhennoe-reshenie-nelinejnogo-uravneniya-fredgolma-vtorogo-roda-metodom-bubnova-galerkina-s-bazisami-v-vide-vejvletov-lezhandra/ (КОКСНВО МНВО РК)
4. Urynbassarova D., Urynbassarova A. Hybrid transforms // Time Frequency Analysis of Some Generalized Fourier Transforms, IntechOpen, London, UK, Sep. 13, 2023. ISBN 978-1-83768-460-1, https://doi.org/10.5772/intechopen.104023, URL: http://www.intechopen.com/books/time-frequency-analysis-of-some-generalized-fourier-transforms (WoS Book Citation Index)